Uso del Método de Determinantes para Resolver un Sistema de Ecuaciones.

La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como

Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones son horizontales y las columnas, verticales). A cada número del determinante se le llama elemento del propio determinante.

En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente:

donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generalización de los determinantes de orden superior. El primer número del subíndice indica el renglón en que está el elemento; y el segundo número, la columna. Así, a₂₁ es el elemento situado en el segundo renglón y primera columna.

Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la siguiente formula:

Valor  de un determinante 2 x 2

Si a, b,.c y d son números, el determinante de la matriz  es 

El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de los números de la diagonal principal.

menos el producto de los números de la otra diagonal

PROCEDIMIENTO

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden:

Para resolver el sistema donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s, son números reales.

1.             Consideramos el arreglo  que consta de los coeficientes de las variables.

2.            Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos

            Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.

3.            Con la notación observamos que la solución del sistema es

            Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con este método.